《期权、期货及其他衍生产品》读书笔记（5）
欢迎来到第三篇《期权、期货及其他衍生产品》读书笔记。在本章，我们将重点讲解是约翰·赫尔（John C. Hull）所著的《期权、期货及其他衍生产品》（Options，Futures，and Other Derivatives）中的第三章——利用期货的对冲策略下半部分。承接上文，我们今天将从交叉对冲开始介绍。
一、交叉对冲
在之前的例子中，对冲时所用期货的标的资产与被对冲的资产是一样的。当两种资产不同时就会出现交叉对冲（cross hedging）。例如，某家航空公司对航空燃料油的未来价格有些担心，但是由于没有航空燃料油的期货，这家公司也许会利用民用燃料油期货合约来对冲风险。
对冲比率（hedging ratio）是指持有期货合约的头寸数量与资产风险敞口数量的比率。当期货标的资产与被对冲资产一样时，对冲比率当然应该取为1.0。这正是我们在以上所有例子中所采用的对冲比率。例如，对冲者的风险敞口为20000桶原油，期货所对应的资产交割数量刚好与这个头寸相等。
当采用交叉对冲时，将对冲比率取为1.0并不一定是最优的选择。对冲者采用的对冲比率应当使被对冲后头寸价格变化的方差达到极小。 1.计算最小方差对冲比率 最小方差对冲比率取决于即期价格的变化与期货价格变化之间的关系。 ΔS:在对冲期限内，即期价格S的变化 ΔF:在对冲期限内，期货价格F的变化 用h表示最小方差对冲比率，可以证明h是ΔS对ΔF进行线性回归时所产生的最优拟合直线（best-fit line）的斜率
这个结果在直观上很合理：我们希望h是当F变化一定数量时，S平均变化的比例。 h=ρσSD /σF 其中σS是ΔS的标准差，σF是ΔF的标准差，ρ是两者之间的相关系数。 2.最优合约数量 为了计算对冲所用的合约数量，定义： QA:被对冲头寸的数量（单位数量）; QF:1份期货合约的规模（单位数量）; N:用于对冲的最优期货合约数量。 在完美对冲情形下，应当有下面的恒等式 N∗QFΔF=QAΔS 该等式意味着用于对冲的期货合约的盈利（亏损）正好与被对冲资产的亏损（盈利）完全相同，最优对冲比例可以近似为N∗=hQA /QF
二、股指期货
下面开始研究股指期货，以及如何将其用于对冲或管理与股票价格有关的风险敞口。
股指（stock index）跟踪一个虚拟股票组合的价值变化，每个股票在组合中的权重等于股票组合投资于这一股票的比例。在计算中，通常不包括股息，因此股指是用于跟踪在这一组合上投资的资本增值/亏损（capital gain/loss）。
需要注意的是，组合中每个股票的权重不一定不变。有些指数的建立是在一些股票中每样取一只，这时股票的权重与其市场价格成比例，当股票分股时做适当调整。另一些股指的构造使得权重与股票的市场资本总价值（股票价格×发行的数量）成比例，这时股票组合会对股票的分股、股票形式的股息和新股发行自动进行调整。
1.美国股指
道琼斯工业平均指数（Dow Jones Industrial Average）： 是基于30美国蓝筹（blue-chip）股票所组成的股票组合，权重与股票价格成比例。CME集团有两种关于这个指数的合约：一种期货的标的变量是10美元乘以指数值；另一种（Mini DJ Industrial Average）是5美元乘以指数值，Mini合约在市场上交易最活跃。
标准普尔500指数 ：
S&P 500是基于一个包括500种股票的组合，这500种股票的组成为：400种工业股，40种公共事业股，20种交通业股以及40种金融股。在任何时刻，股票的权重与该股票的总市值成比例。这些股票都是在NYSE Euronext或Nasdaq OMX上市。CME集团有两种关于标普500的期货合约：一种是关于250美元乘以指数；另一种（Mini S&P 500contract）是关于50美元乘以指数，Mini合约在市场上交易最活跃。
纳斯达克100指数 ：
Nasdaq 100 是基于由全国债券交易自动报价服务联合会（National Association of Securities Dealers Automatic Quotations Service）交易的100种股票所组成的组合。CME集团交易所交易两种与这个指数有关的合约：一种是关于100美元乘以指数；另一种（Mini Nasdaq 100Contract）是关于20美元乘以指数，Mini合约在市场上交易最活跃。
2.中国股指
上证综合指数
简称：上证综指是由上海证券交易所编制的股票指数，于1991年7月15日起编制并正式对外发布。该股票指数的样本为所有在上海证券交易所挂牌上市的股票（包括A股和B股）。上证综指的基准日定为1990年12月19日，基准日的指数定为100点，该指数的权重是以股票的市值（股票价格×发行数量）为依据。
上证成份指数
简称：上证180指数是上海证券交易所对原上证30指数进行了调整并更名而成的，其样本股是在所有上海证券交易所交易的A股股票中抽取最具市场代表性的180种样本股票，自2002年7月1日起正式发布，指数每半年调整一次成分股，每次调增比例一般不超过10%，特殊情况时也可能对样本进行临时调整。
上证50指数
是上海证券交易所于2004年1月2日起对外发布的指数，该指数是根据流通市值、成交金额对上证180指数样本股进行综合排名，从中挑选出规模大、流动性最好的50只股票组成样本股，以综合反映上海证券市场最具影响力的一批龙头企业的整体状况。与上证180指数相同的是，上证50指数每半年调整一次成分股，每次调整比例一般不超过10%，特殊情况时也可能对样本进行临时调整。
深证成分股指数
简称：深证成指 是深圳证券交易所编制的一种成分股指数，是从上市的所有股票中抽取具有市场代表性的40家上市公司的股票作为计算对象，并以流通股市值为依据计算得出的加权股价指数，综合反映深交所上市A、B的股价走势。深证成指的基准日定为1994年7月20日，基准日指数定为1000点。
沪深300指数
简称：沪深300是由上海证券交易所、深圳证券交易所于2005年4月8日联合发布的反映A股市场整体趋势的指数，是选取了在这两家交易所挂牌交易的300只流动性强和规模大的代表性A股股票作为样本编制而成的指数，并以流通股市值为依据计算得出，指数基准日为2004年12月31日，基准点为100点。样本股调整时间分别是每年6月和12月的第二个星期五收盘后的下一个交易日，每次调整数量一般不超过10%。
3.股票组合的对冲
股指期货可用于对冲风险分散良好的股票投资组合。 VA:股票组合的当前价值 VF:一份期货的当前价值(期货价格∗期货规模) 如果组合是为了跟踪股票指数，最优对冲率h*为1.0，那么可以得到需要持有的期货空头合约数量为 N∗=VA/VF
4.对冲股权组合的理由
下面就会产生一个问题：为什么要采用期货合约来对冲呢？为了取得无风险利率的收益，对冲者只需要变卖资产，并将得到的资金投放于类似短期国债之类的无风险产品即可。
对于上面问题的答案是：如果对冲者感觉组合中的股票选取的很好，那么实施对冲是有道理的。在这种情况下，对冲者对市场的整体风险很不确定，却确信组合中的股票收益会高于市场的收益（对组合β 值进行调整之后）。一个对冲者可以采用股指期货来消除因市场变动而触发的风险，从而使对冲者仅仅暴露于股票组合与市场的相对表现中。
5.改变组合的β
上文的例子中，对冲者的β值被降低到0，因此对冲者的收益期望几乎与指数的表现无关。有时也可以利用期货合约来调整组合的β，而不是将β 值降低到0。
为了将组合的β 从1.5转变为0.75，我们需要持有空头的合约数量应当为15，而不是30；当要将组合的β 由1.5转变为2.0，需要持有10个期权的多头，等等。通常来讲，当将组合的Beta从β变为β 。 如果β>β，所持期货空头的数量应当为 (β−β∗)VA/VF 如果β*>β，所持期货空头的数量应当为 (β∗−β)VA/VF 6.锁定挑选股票的优势 假设你擅长于挑选比市场表现更好的股票。你拥有一只股票或一个小的股票组合。你不知道在今后几个月内股票市场的表现将会如何，但你非常确认你持有的股票将比市场表现要好，你这时该如何做呢？ 你应该持有数量等于βVA/VF的股指期货合约空头，其中β为你所持有股票的Beta值，VA为持有的股票价值，VF为1份股指期货合约的价值。如果你的股票投资组合比一个具有同样β但风险分散很好的组合表现要好，你这时就会赚钱。
三、向前滚动对冲
有时对冲的期限要比所有能够利用的期货期限更长，这时对冲者必须对到期的期货进行平仓，同时再进入具有较晚期限的合约。这样可以将对冲向前滚动很多次。这种做法被称为向前滚动对冲（stack and roll）。
考虑某家公司，它希望利用期货空头来减少在将来时刻T收到某个资产时所带来的风险。如果在市场上存在期货合约1，2，3，…n（并不一定目前都存在），其到期日一个比一个更晚。公司可以采用以下策略： 在t1时刻：进入合约1的空头 在t2时刻：对合约1平仓；进入合约2的空头 在t3时刻：对合约2平仓；进入合约3的空头 … 在tn时刻：对合约n-1平仓；进入合约n的空头 在T时刻，对合约n平仓