在上一篇文章中，我们介绍了随机游走和白噪声作为某些金融工具的基本时间序列模型，例如每日股票和股票指数价格。然而，在某些情况下，随机游走模型不能完全捕捉到仪器的自相关行为，这就需要使用更复杂的模型。
在本文中，我们将讨论时间序列分析中的自回归移动平均ARMA（p，q）模型，这是时间序列分析中的一种基本模型。在我们的前一篇文章中，我们介绍了随机游走和白噪声作为金融工具的基本时间序列模型，但是这些模型在捕捉完全自相关行为方面有限。因此，我们需要更复杂的模型来捕捉序列相关性，并为未来价格提供预测方法。
ARMA模型结合了自回归模型和移动平均模型。自回归模型是基于过去时间步的数据进行预测，移动平均模型是基于过去时间步的噪声（误差）进行预测。ARMA模型将它们组合起来，以更好地捕捉时间序列数据中的相关性。
具体来说，ARMA（p，q）模型包括p阶自回归和q阶移动平均。p阶自回归意味着当前时间步的值是过去p个时间步的加权和，其中权重由过去数据的自相关系数确定。q阶移动平均意味着当前时间步的值是过去q个时间步的噪声（误差）的加权和，其中权重由过去数据的移动平均系数确定。
ARMA模型的一个重要假设是时间序列是平稳的，也就是说，其均值和方差在时间上是恒定的。如果时间序列不满足平稳性假设，我们需要进行转换或使用更复杂的模型。
ARMA模型是时间序列分析中的基本模型之一，也是更复杂模型的基础，如自回归综合移动平均（ARIMA）和广义自回归条件异方差（GARCH）模型。在本文系列的后续文章中，我们将深入探讨ARIMA和GARCH模型，以及它们在金融领域的应用。
严格平稳性
严格平稳性是时间序列分析中的一个概念，它是指一个随机过程的统计性质在时间平移的情况下不会发生变化。换句话说，如果一个时间序列具有严格平稳性，那么该序列在时间上的任意一个区间内的统计性质都是相同的，无论这个区间是在序列的早期、中期还是后期。
具体而言，一个时间序列如果满足以下三个条件，就称之为严格平稳的：
- 均值（期望）不变：对于任意的时刻 t，序列在 t 时刻的期望都等于该序列的总体期望。
- 自协方差不变：对于任意的时刻 t1 和 t2，序列在时刻 t1 和 t2 的协方差等于这两个时刻之间的时间差（|t1-t2|）。
自相关系数不变：对于任意的时刻 t1 和 t2，序列在时刻 t1 和 t2 的自相关系数等于这两个时刻之间的时间差（|t1-t2|）。
严格平稳性是一个非常有用的概念，因为它可以帮助我们推导时间序列的性质和预测未来的值。例如，在许多时间序列模型中，我们假设时间序列是严格平稳的，这样可以使我们更容易地推导出一些重要的性质，例如自协方差和自相关系数。这些性质可以帮助我们理解时间序列的行为，并且可以用来预测未来的值。
然而，严格平稳性是一个非常强的条件，因此在实际应用中，我们往往只要求时间序列是平稳的，而不是严格平稳的。平稳性要求时间序列的均值、方差和协方差不随时间改变，但是它允许这些统计量随时间略微变化。在实际应用中，我们通常使用平稳性作为时间序列的基本性质，并且根据具体应用需要选择适当的模型来描述时间序列的统计特性。
严格平稳性是许多时间序列模型的基础假设，包括自回归移动平均（ARMA）模型和广义自回归条件异方差（GARCH）模型。在实际应用中，如果一个时间序列不满足严格平稳性的要求，可以通过差分或变换等方式进行预处理，使其满足严格平稳性的要求，以便应用相应的时间序列模型进行分析和预测。
赤池信息量准则
赤池信息量准则（Akaike Information Criterion，简称AIC）是用于衡量模型拟合优度的一种统计量。AIC是由日本统计学家赤池弘次于1974年提出的，它在模型选择和比较中被广泛使用。
在模型拟合中，我们通常会使用最小二乘法或极大似然估计来估计模型的参数。但是，如果我们仅仅比较拟合误差平方和或最大似然值，可能会出现过拟合问题，即模型对训练数据过度拟合，而对新的测试数据表现不佳。因此，我们需要一种方法来在模型拟合中衡量拟合优度和模型的复杂度。
AIC就是为了解决这个问题而产生的。它基于信息理论，通过考虑模型的最大似然估计值及其自由参数的数量来平衡拟合优度和模型复杂度。简单来说，AIC给出了在模型拟合中一个平衡模型复杂度和拟合优度的指标。
AIC的计算公式为：AIC = 2k - 2ln(L) 其中，L是模型的似然函数值，k是模型的参数数目。
在AIC中，-2ln(L)相当于模型拟合程度的度量，因为L越大，则-2ln(L)越小，表示模型对数据的拟合越好。而2k则是惩罚项，惩罚模型参数数目过多对模型拟合的影响。因此，AIC越小，表示模型拟合程度越好，而且参数数目越少。
在模型比较中，通常计算多个模型的AIC值，然后选择AIC值最小的模型作为最佳模型。如果存在多个模型的AIC值差距不大，那么应该选择参数更少的模型作为最佳模型。在实际应用中，AIC常被用于线性回归、时间序列分析、混合模型等领域的模型比较和选择。
p阶自回归（AR）模型
p阶自回归模型是时间序列分析中常用的一种模型，也称为AR(p)模型。它是基于当前时刻过去p个时刻的值来预测未来值的线性模型。具体地说，假设y(t)表示在时刻t的观测值，则p阶自回归模型的数学表达式为：
y(t) = c + φ1y(t-1) + φ2y(t-2) + ... + φp*y(t-p) + ε(t)
其中，c是常数项，φ1, φ2, ..., φp是系数，ε(t)是误差项。这个模型的核心思想是当前时刻的观测值受到过去p个时刻观测值的影响，并且误差项表示了当前时刻的观测值和模型预测值之间的差异。参数c和φ1, φ2, ..., φp可以通过最小化误差平方和来估计，即最小化以下损失函数：
L(θ) = Σ [y(t) - c - φ1y(t-1) - φ2y(t-2) - ... - φp*y(t-p)]^2
其中，θ表示模型参数，包括c和φ1, φ2, ..., φp。
在实际应用中，我们需要选择合适的p值，以获得最佳的模型性能。一种常见的方法是使用自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）来选择p值。ACF描述了观测值与其滞后值之间的相关性，而PACF则描述了观测值与其滞后值之间的直接相关性。具体地说，我们需要找到ACF和PACF图中第一个不为零的截止点，将其对应的滞后值作为p的值。
p阶自回归模型在时间序列预测和分析中得到了广泛的应用。它可以帮助我们捕捉时间序列中的趋势和周期性，从而提高预测的准确性和效率。但是，需要注意的是，它仅适用于平稳时间序列，如果时间序列具有趋势性或季节性，需要采用其他方法进行分析和预测。
自回归过程的平稳性
自回归模型的平稳性是指在时间上不会随着时间的推移而发生变化。如果一个自回归模型是平稳的，那么它的均值和方差在时间上是恒定的，而且任意两个时间点之间的协方差只取决于它们之间的时间间隔，而不是它们的具体位置。
为了确保自回归模型的平稳性，我们需要满足其自相关系数的条件。对于一个p阶的自回归模型，其条件是其p个自相关系数必须在[-1,1]之间，并且它们的和不大于1。
当自回归模型是平稳的时，我们可以使用样本数据来估计其参数，并且通过最小化残差平方和来得到最优参数。同时，我们可以使用样本数据来检验模型的拟合程度，并通过残差的自相关函数和偏自相关函数来识别模型的阶数。
需要注意的是，自回归模型的平稳性是一个重要的性质，因为只有平稳的时间序列才能进行可靠的统计推断和预测。如果模型不平稳，我们需要进行变换，例如差分，来得到平稳的序列，然后再对其进行建模。
AR(p)模型最重要的一个方面是它不总是平稳的，实际上，一个特定模型的平稳性取决于参数。在之前的文章中我们已经讨论过这个问题。为了确定AR(p)过程是否平稳，我们需要解特征方程，特征方程是一个简单的自回归模型：
我们需要为B求解这个方程。为了使特定的自回归过程是平稳的，特征方程的所有根的绝对值都必须大于1。这是一个非常有用的性质，可以帮助我们快速计算AR(p)过程是否平稳。
我们需要为B求解这个方程。为了使特定的自回归过程是平稳的，特征方程的所有根的绝对值都必须大于1。这是一个非常有用的性质，可以帮助我们快速计算AR(p)过程是否平稳。让我们通过几个例子具体说明这个想法：
- 随机漫步：当a1=1时，AR(1)过程的特征方程为θ=1-B。显然，它的根为B=1，因此不是平稳的。
- AR(1)：如果我们选择a1=1/4，则得到xt=1/4x(t-1)+wt。这会使得特征方程为1-1/4B=0，其根B=4>1，因此该AR(1)过程是平稳的。
AR(2)：如果我们选择a1=a2=1/4，则得到xt = 1/2x(t-1)+1/2x(t-2)+wt。这会导致特征方程-1/2(B-1)(B+2)=0，其根B=1，-2。由于它具有单位根，因此它是非平稳序列。然而，其他AR(2)过程可以是平稳的。
总结
本文概述了时间序列分析中的一些基本概念和模型，包括自回归模型（AR）、自回归移动平均模型（ARMA）和赤池信息准则（AIC）等。具体而言，本文探讨了AR模型的定义、平稳性和特征方程的求解方法，以及ARMA模型的定义、参数估计和模型选择方法。此外，文章还介绍了AIC的概念和使用场景，以及它在模型比较和选择中的作用。
总的来说，时间序列分析是研究时间序列数据中趋势、周期性和随机性等特征的一种方法。在实际应用中，我们可以根据数据的特点选择不同的模型进行建模和预测。同时，模型的选择和参数估计等问题也需要考虑到模型的准确性和可解释性，以及数据的规模和质量等因素。