众所周知，当试图执行大型订单（无论是买入还是卖出订单）时，市场价格都会受到影响。如果该订单是一个大型卖出订单，价格将会下降；而大型买入订单则会提高价格。经过我们在前两篇文章中对市场微观结构如何运作的分析，原因显而易见：被执行的大型市场订单不会是最佳价格的限价订单，而当这些限价订单被执行时，股票价格会受到影响。
在这篇文章中，我们将研究如何最佳地买入或卖出某个特定股票的大量股票。这应该通过将父订单分解为称为子订单的独立部分来实现。在快速执行（对股价造成负面影响）和缓慢执行（使交易者面临市场风险）之间进行权衡时，应该分解父订单。我们将发现，将问题表述为随机最优控制问题将使我们能够找到满意的解决方案。
定义模型
现在，我们假设交易者想要执行给定的股票交易。与之相对的问题，即交易者想要获得大量股票，也可以使用类似的方法解决。- v 表示交易速度。交易者可以控制这个变量，从而选择它的最优值。
- Q 是交易者的股票库存，它取决于：
其中 q 表示交易者的初始库存。 - S 是股票的中间价格。它也受交易速度 v 的影响，因为过快的速度会降低价格，如前所述。我们假设它遵循如下动态：
其中 W 为标准布朗运动。 - S’ 表示代理人在完成限价单后可以以执行价格出售资产的价格：
如果k > 0是某个参数且k > 0，为买卖价差，假设为delta非负数。 X 是交易者在以速度 v 执行初始库存后拥有的现金数额。
找到最佳结算速度
A 表示所有可预测的非负有界过程的集合。它将是我们的一组可接受策略，即结算速度 v 必须从这个集合中选择。 假设我们的目的是在时间T之前将P股票的投资组合结算完毕，那么，我们的目标将是最小化以下期望：
其中 q 表示交易者的初始库存。
其中 W 为标准布朗运动。
如果k > 0是某个参数且k > 0，为买卖价差，假设为delta非负数。
也就是说，我们希望找到该值函数：
在方括号中，第一项代表遵循某种策略v获得的现金数量，第二项代表交易者必须执行在时间T时未清算的所有股票，第三项是最终的惩罚，代表在T时间之前未清算的股票的惩罚。
使用Hamilton-Jacobi-Bellman方程可以推断出，值函数H必须满足如下偏微分方程：
通过此方程可得出，最佳清算速度为：
随机分析是一种很好的工具，可以利用市场微观结构的运作原理来制定最优执行问题的策略。