在现代量化分析技术中，深刻理解支撑这些模型的基础数学和统计学知识至关重要，而贝叶斯统计就是其中一个关键领域。本文旨在帮助您理解贝叶斯方法的“哲学”，以及它与传统/经典的频率统计方法的比较，并探讨其在定量金融和数据科学中的潜在应用。
什么是贝叶斯统计？
贝叶斯统计是将概率应用于统计问题的一种特殊方法，它提供了一套数学工具，可以根据看到的有关随机事件的新数据或证据来更新我们对随机事件的信念。特别是，贝叶斯推断将概率解释为个体对特定事件发生可能具有的可信度或信心的度量。我们可能会对某个事件有一个先前的信念，但当新的证据被揭露时，我们的信念很可能会改变。贝叶斯统计为我们提供了一个坚实的数学方法，将我们的先验信念和证据结合起来，以产生新的后验信念。
贝叶斯统计在解决实际问题时具有广泛的应用，比如医学、工程、社会科学等领域。它还可以应用于金融和数据科学中的许多问题，例如资产组合优化、风险管理、机器学习等。与传统的经典统计或频率统计方法相比，贝叶斯统计的一个重要优点是，它提供了一种更加灵活的框架，可以处理复杂的实际问题，并且可以根据问题的不同特征灵活地选择先验分布和模型。
例如，当我们反复掷一枚公正的六面骰子时，每个数字出现的概率都是1/6。这是频率统计的基本假设，即概率是随机事件在长期重复试验中的频率。 在进行统计推断时，即从概率系统推断统计信息时，频率统计和贝叶斯统计这两种方法具有非常不同的哲学。 频率统计试图通过提供估计来消除不确定性，而贝叶斯统计试图通过根据新的证据来调整个人信念，以保持和改善不确定性。
频率统计vs贝叶斯统计示例：
在贝叶斯解释中，概率是个人观点的总结。一个关键点是，不同的个人可能有不同的意见，然而，当这些人遇到新的数据时，他们都可以修正他们的先前信念，这将导致更新后的信念。
在贝叶斯框架中，当个人对事件发生没有信心时，他们将应用概率0，而当他们绝对确定事件发生时，他们应用概率1。而介于0和1之间的概率则允许对其他潜在结果进行加权置信。
贝叶斯公式：
贝叶斯推理中的应用——贝叶斯规则
正如本文一开始所述，贝叶斯推理的基本思想是随着新证据的出现，不断更新我们对事件的先前信念。这种思考概率事件的方式非常自然。随着越来越多的证据被积累，我们的先前信念会被任何新数据不断“洗去”。
以一个（相当荒谬的）先前信念为例，即月球将与地球相撞。在过去的每个夜晚，贝叶斯推断的应用将倾向于将我们先前的信念修正为另一个信念，即月球与地球相撞的可能性越来越小，因为它仍在轨道上。
为了演示贝叶斯推理的具体数值示例，有必要引入一些新符号。
首先，我们需要考虑参数和模型的概念。一个参数可以是不公平硬币的权重，我们可以将其标记为θ。因此，θ=P（H）将描述我们抛硬币是正面的概率分布。该模型是对这种翻转进行数学编码的实际方法。在这种情况下，抛硬币可以模拟为伯努利试验。
在进行一些伯努利试验的过程中，我们会生成一些有关正面或反面的数据D。一个自然的问题是：“在一枚公平的硬币中，进行8次翻转（8次伯努利试验）中看到3个正面的概率是多少？”。 我们需要一个模型来确定在给定参数θ值的情况下看到数据D的概率。在特定的θ值下，看到数据D的概率由符号P（D|θ）给出。 然而，如果我们思考一下，实际上我们对另一个问题感兴趣——“鉴于我已经观察到了一个特定的正面反面序列，硬币是公平的（或不公平的）的概率是多少？”。 因此，我们对概率分布感兴趣，它反映了我们对θ的不同可能值的信念，假设我们已经观察到一些数据D。这由P（θ|D）表示。贝叶斯规则是两种情况之间的纽带：
贝叶斯推理是一种重要的概率论方法，其核心思想是将我们的先验信念与已有证据相结合，从而得出更新的后验信念。其目的在于为我们提供一种合理且数学上严谨的方法，以便在面对新数据时进行推断和预测。贝叶斯推理的优点在于，后验概率本身可以被视为新数据下的先验概率，从而允许我们不断地在新数据下更新我们的概率。通过重复应用贝叶斯规则，我们可以在不断地积累证据的同时，不断地调整概率值，从而更加准确地理解情况和预测我们所面对的事件。