西格玛代数（Sigma Algebra）与概率空间

为了在量化金融中应用数学，学习更高级的数学知识是必要的。其中有两个重点领域：深度学习、线性代数和随机微积分。随机微积分是定价衍生品合同的基本理论框架，而线性代数则是深度学习的核心基础。本文将介绍两个关键的数学概念：西格玛代数和概率空间。这两个概念是理解更复杂的随机过程（如马尔可夫链）所必需的基础工具。

1. 必要的学习背景

必要的学习背景有测量理论（Measure Theory）和随机微积分（Stochastic Calculus），同时学习这两门课程都需要有良好的集合论和实分析背景，此外了解黎曼积分及其定义是必要的先决条件。

2. 动机

金融随机微积分中一个关键问题是对股价路径进行建模。现实中，股票价格变化很快，但变化总是离散的。也就是说，我们可以将时间“放大”，在有限的时间段内看到股价之间的离散跳跃。然而，由于这些变化非常迅速，从数学上讲，将股价建模为连续变化更加合适。这意味着，如果我们试图及时“放大”，我们会看到基础股票路径的“摇摆”，这是金融业股票价格演变的常见模型，由布朗运动的分形性质引起。因此，如果我们想要讨论股票价格在随后的时间增量中增加或减少的概率概念，我们需要考虑不可数的事件集。
然而，一旦我们引入了不可数集合并试图以某种方式“测量”它们（例如，为事件分配概率），就需要确保我们可以明确地这样做。否则，我们可能会陷入以下困境：我们可以合法地为同一事件分配不同的概率值（例如，基于两个独立的数学证明）。因此，为了明确地为事件分配概率，有必要以某种方式将某些事件排除在我们正在分配概率的事件之外。本质上，我们需要去除任何没有“合理”概率度量的集合。这就是西格玛代数的概念。

3. 西格玛代数 Sigma Algebra

我们将首先定义西格玛代数：
给定一个非空集合ω，ω的子集族F被称为ω上的σ代数，F满足以下性质：

2）如果一个集合在F中，那么它的补集也必须在F中。
3）如果两个集合都在F中，那么它们的并集也必须在F中。
σ代数的定义可以应用于更一般的情况。实际上，这个定义是用来确保我们可以为集合分配“度量”的正确性。通过在F中只包括那些与度量定义一致的集合，我们可以避免产生不明确的度量值，从而使概率论的运算更加准确。因此，σ代数在概率论中起着重要的作用。

4. 概率空间

现在，我们已经了解了如何将集合限定为在补集和可数并集下闭合的集合，接下来，我们可以开始正式讨论概率了。下面这个定义帮助我们将“概率”分配给“事件”：
定义：概率度量


我们再来理解一下这个定义：
首先，概率度量是一个简单的函数，它取西格玛代数F中的一个元素，并为其分配一个介于0和1之间（包括0和1）的值。由于所有概率都被定义为介于0和1之间，因此这是一个合理的概率度量定义。
它还有两个规定的性质。第一个规定是，分配给集合ω的概率度量等于1。这个规定非正式地表明，发生某个事件的概率必须是1。
第二个性质指出，如果我们有两个或更多独立的事件，那么看到一个或另一个事件发生的概率只是每个事件发生概率的总和。也就是说，如果我们想知道骰子上出现1或3的概率，我们只需计算1/6 + 1/6 = 1/3。
最终，这使我们能够将概率空间定义为三元组（ω，F，P），其中西格玛代数F中的集合被称为事件。

5. 总结

本文介绍了量化金融领域中应用的两个重要的数学概念：西格玛代数和概率空间。西格玛代数是确保概率度量正确性的关键概念，概率空间则帮助我们将概率分配给事件。在量化金融中，要了解更复杂的随机过程，如马尔可夫链，就必须掌握这些概念。同时，为了学习随机微积分和深度学习，需要先掌握集合论、实分析、黎曼积分等基础知识。本文也介绍了金融随机微积分中的关键问题，即如何对股价路径进行建模。由于股票价格变化离散，因此，将股价建模为连续变化更加合适。西格玛代数和概率空间可以确保为这些事件分配概率值的正确性。