使用双状态树对看涨期权的****套期保值
在二项式树期权定价导论中，我们表明，如果一只股票今天价值100，明天可能价值110或90（分别为U或D状态），那么该股票在K=100时的看涨期权价值必须在0或10之间。在这篇文章中，我们将试图通过套期保值的方式对期权设定一个无套利价格。
主要的问题是我们不确定股票是涨是跌。因此，我们今天需要购买一些数量的股票，以消除出售期权的风险。让我们首先考虑一下我们的投资组合。如果我们购买价值δ英镑的股票并出售价值C的期权，我们的投资组合可以写成：
ΔS-C
现在让我们考虑一下，如果我们加上我们的U和D，这个投资组合的价值会发生什么。
首先，考虑U。我们的投资组合价值将为ΔS-C=110Δ-10。
现在，考虑D。我们的投资组合价值为ΔS-C=90Δ-0=90Δ。
对冲论点的本质是，投资组合在未来的任何状态下都应该是相等的，因为这将消除所有的不确定性。由于我们的投资组合必须相等，我们可以将U和D的投资组合值设置为彼此相等，并求解我们的股票数量Δ的方程：
100Δ-10=90Δ
这导致了Δ=0.5。
我们已经讨论过，我们对期权定价的数学处理将允许我们持有少量股票。如果这看起来不现实，那么如果这个例子中的所有数量都乘以100万，那么同样的论点也可以成立，在这种情况下，我们将持有50万股，这是一个非小数的数量。
假设Δ=0.5，我们可以表明，我们的投资组合在U时价值110*0.5-10=45，在D时价值90*0.5=45。由于利率已设置为零，我们的资产组合不包含风险。这使我们得出结论，今天的投资组合也必须价值45，因为我们可以通过购买价值45的明天到期的零息债券来综合相同的无风险投资组合。那么这对我们的期权价格意味着什么呢？今天投资组合的价值是ΔS-C=0.5*100-C=45。这意味着C=5。
让我们总结一下，根据无套利条件，我们得出结论，今天的投资组合必须价值45，因为我们可以通过购买价值45的明天到期的零息债券来复制相同的无风险投资组合。根据这个结果，我们确定了看涨期权的价格为5。
总结而言，通过套期保值策略，我们能够消除或降低出售看涨期权所带来的风险，并为期权设定一个无套利价格。我们的分析假设利率为零，并忽略了股票明天上涨或下跌的概率。下一步，我们将探讨风险中性定价方法，以更全面地考虑这些概率对期权定价的影响。