显式求解扩散方程
在有限差分方法系列的第一部分中，我们已经介绍了如何对连续导数进行近似，并将其应用于离散域。下一步是将这些导数应用于抛物型偏微分方程。热方程是抛物型偏微分方程的典型例子，现在我们将对其进行离散化处理。
考虑到初始条件g的热方程如下所示：
我们可以通过在时间导数上应用前向差分，并在扩散项上应用中心二阶差分来进行离散化，得到以下表达式：
通过重新排列这个方程，我们可以得到以下形式的表达式
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解的计算
对于n=1，方程右侧已知，因此可以明确计算出解f的所有近似值。在这种情况下，剩下的唯一任务是确定时间步长Δt，它通常被设置为(Δx)^2。因此，方程可以简化为以下形式：
这个公式可以计算出所有位置i处（i<<1,......I）的f值，因为初始条件g的近似值提供了离散化的起始条件。假设I=13，且有三个“热凸块”，初始条件gi的值如下：
通过从初始条件开始，按时间步进方式生成解的解决方案，这被称为时间推进解法：
但是，当n=4时，离散解产生剧烈的振荡，与连续解完全不同，连续解具有物理上解释为扩散热凸块的特性。显然，其中一个关于公式的假设是不正确的。
2. 稳定性
实际上，问题在于选择时间步长Δt相对于空间步长Δx的比例。正确的稳定性条件由以下公式给出：
证明这一结果超出了本文的范围，但需要注意的是，它对时间步长施加了严格的限制。我们将在下一篇文章中详细探讨如何解决这个问题。
根据这个新的稳定性条件，我们选择Δt=0.5*(Δx)^2，将其应用于上述公式，得到：
通过计算这个公式，我们可以得到对真实解的精确近似。它没有负值，并且与一维棒的热扩散的物理解释相一致。
这样，我们成功地得到了一个能够与真实解吻合的解决方案。这强调了正确选择时间步长的重要性，并确保我们的数值方法在稳定性方面是可靠的。在下一篇文章中，我们将继续探索进一步改进数值求解方法的方法。
3. 结论
时间步长的选择是非常严格的。在实际应用中，当使用细密的空间网格时，时间步长需要非常小。这对计算的要求很高，可能会导致计算时间变得非常长。因此，我们需要寻找一种方法来克服这个小时间步长的问题，以便更高效地求解抛物型偏微分方程。
在下一篇文章中，我们将介绍一种名为Crank-Nicolson隐式格式的应对小时间步长问题的方法。这个方法被称为隐式求解方法，它允许我们选择更大的时间步长，从而提高计算效率。隐式求解方法与显式求解方法相比，具有更高的稳定性和精确性，但需要更复杂的数值计算技巧。
通过不断深入研究和改进数值求解方法，我们能够更准确、更高效地解决抛物型偏微分方程。这对于许多科学和工程领域中的问题具有重要意义，例如金融衍生品定价、热传导、扩散等。通过掌握这些数值方法，我们能够更好地理解和解决现实世界中的复杂问题。