衍生品定价II：波动性
在上一篇文章中，我们介绍了一些期权定价的基本概念。我们首先引入了一个由无风险资产B、股票S和欧洲期权组成的市场。我们假设B和S的关系如下式所示：
并且市场是无套利的，这时我们可以得出布莱克-舒尔斯模型。然而，该定理依赖于许多假设，这些假设不一定能够很好地适应现实。在本文中，我们将研究其中一个假设：股票的波动率。这一变量在上述方程中由theta表示，并假定为一个常数。
我们可以假设股票的波动性随时间变化而变化，因此股票价格的漂移和波动性被描述为如下形式：
其中，σ(t)是一个随机过程。
令X=log(σ(t))，则有：
其中Y是另一个随机过程。
它被称为奥恩斯坦-乌伦贝克过程，我们的目标是找到一个合适的过程Y来确定X。第一个合理的方法是将Y视为布朗运动。然而，我们注意到波动过程相当粗糙，因为它经常震荡。实际上，它看起来比股票本身的价格过程更粗糙，后者是由布朗运动建模的。因此，我们需要选择一个比布朗运动更粗糙的过程X，这就是分数布朗运动，它是布朗运动的一种推广。
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分数布朗运动（Fractional Brownian Motion）
分数布朗运动（Fractional Brownian Motion, fBm）是布朗运动的一种泛化，它是一种具有自相关性的随机过程。与标准布朗运动的平稳无记忆性不同，分数布朗运动具有自回归性，即过程的值在不同时间点上是相关的。分数布朗运动的自回归性质由赫斯特指数（Hurst exponent）来描述，它是一个衡量时间序列长期相关性的参数。
数学上，分数布朗运动可以定义为如下形式的随机过程：
其中，B(t)是布朗运动，W(t)是标准布朗运动（即W(t)~N(0,t)），H是分数阶指数（通常取值在(0,1)之间），σ是常数。其中，是分数布朗运动在时间t的增量。
分数布朗运动的特点是：其轨迹是分形的，即非光滑且具有自相似性。它在金融衍生品定价、信号处理、图像处理等领域具有广泛应用。在金融学中，它被用来模拟金融资产价格的波动，并被认为比标准布朗运动更能捕捉金融市场中的长期相关性。
2. 粗糙分数随机波动率模型（RFSV）
粗糙分数随机波动率模型（RFSV）是一种用于金融市场的随机波动率模型。与传统的随机波动率模型不同，RFSV 假设波动率是时间的非线性分数阶函数，其中分数阶指数通常被建模为小于 1 的小数，称为粗糙度指数。这意味着模型具有长期依赖性和非平稳性，可以更好地捕捉金融市场的复杂动态。RFSV 模型的基本形式是：
其中，表示资产价格，μ 是价格的无风险利率，σ(t)是波动率，Wt和Zt是两个布朗运动。模型的两个随机项分别捕捉了价格和波动率的不确定性，并且κ、θ、ϑ 是模型的参数。