衍生品定价I：布莱克-舒尔斯模型

衍生品定价1：布莱克-舒尔斯模型 Black-Scholes Model

衍生工具是一种金融工具，其价格取决于某些基础资产的表现。金融衍生品非常复杂，它们之间的差异可能很大。本文将专注于一种特定类型的衍生品和期权——欧洲期权。这些期权赋予所有者在约定的到期时间以特定价格进行预定交易的权利。

1. 原理

   欧洲期权可分为如下两种类型：

   1）看涨期权，其标的资产为S，到期时间为T，行权价格为K。它赋予合同所有人在时间T以价格K购买一股S的权利。

   2）看跌期权，同样赋予合同所有人在时间T以K的价格出售一股S的权利。

   当然，如果在时间T，资产价格高于行权价格即St>K，那么以价格K购买资产就符合欧洲看涨期权所有者的利益。但以价格K购买资产违背了期权所有者的利益，因为可以在市场上以更便宜的价格购买资产。在这一过程中，期权所有者可以获得

的收益。

在定义了这些合约后，我们需要解决的问题是如何找到欧洲期权（看跌期权或看涨期权）的公允价值phi。为此，我们将介绍我们的市场，它由三种资产组成：无风险资产B（可以解释为银行里的钱）、股票S和基础资产为S的欧洲期权phi。我们假设Bt和St的价格遵循：

其中r是短期利率（常数），alpha是股票的局部平均收益率，theta是波动性，W是布朗运动。
投资者可以持有投资组合

，其中h1t对应于投资于无风险资产B的资金，h2t对应于投资股票S的资金，而h3t对应于投资期权合同的资金。负值表示卖空。我们还将用Vht_th表示投资组合h在时间t内创造的财富。

我们假定市场是无套利的，也就是说不存在自行筹资的投资组合h，从而有以下条件：

上述条件可以避免在不投资任何资金或承担任何风险的情况下获得高额回报的可能性。实际上，这个条件足以为我们的期权收益phi提供一个公平的价格预估，即布莱克-舒尔斯方程（Black-Scholes Equation）。
2. 布莱克-舒尔斯方程

假设期权的价格方程为

，则F(t,s)为下列偏微分方程的解：

3. 布莱克-舒尔斯模型的局限性

   布莱克-舒尔斯（Black-Scholes）模型是衍生品定价领域中的经典模型，它基于一些假设和前提条件。虽然该模型在许多情况下能够提供较好的定价结果，但也存在一些局限性，如下：

4. 假设标的资产价格遵循几何布朗运动。然而，在现实世界中，许多资产价格并不完全符合这种运动规律，例如市场崩盘和其他事件可能导致价格的大幅波动。

5. 假设无风险利率是固定的。在实际市场中，无风险利率是随着时间和经济环境的变化而变化的。

6. 假设资产价格的波动率是固定的。在现实中，波动率可能会随着时间和市场条件的变化而变化，这可能导致模型无法准确反映市场的实际情况。

7. 假设市场是无摩擦的，即没有交易成本和税收等成本。在实际市场中，这些成本可能对期权的价格产生显著影响。

8. 假设市场是完全流动的，即所有的资产都可以无限制地买卖。在现实中，某些资产可能难以买卖或者只能在特定时间或价格范围内进行交易。

   因此，虽然布莱克-舒尔斯模型在许多情况下是一个有效的定价工具，但需要注意的是，它也存在一些局限性。当使用该模型时，需要认识到其假设和前提条件，并在实际情况下进行适当修正。