布莱克-舒尔斯方程的推导

布莱克-舒尔斯方程的推导

布莱克-舒尔斯方程（Black-Scholes Equation）是金融学中广泛使用的一种工具，用于定价欧式期权。它是通过对股票价格变化进行建模而得出的，其创始人之一是费雪·布莱克和默顿·舒尔斯。

布莱克-舒尔斯方程的推导是基于随机微积分的理论，主要涉及布朗运动、鞅和随机微分方程等概念。下面是一个简单的推导过程：

假设S(t)表示股票价格在t时间的价格，C（S，t）表示期权的价格（是时间t和资产价格S的函数），μ表示股票价格的年化增长率，σ表示股票价格的年化波动率，dX(t)表示在时间t的随机扰动。我们可以将股票价格建模为一个随机漫步模型，即：

根据伊藤引理，可以将上述随机漫步模型转化为以下形式：

代入：

我们的推导论点的核心思想是，一个完全对冲的投资组合在消除所有风险的情况下将以无风险的速度增长。因此，我们需要确定投资组合随时间变化的方式。具体而言，我们关注看涨期权和资产数量混合的无穷小变化，这个数量用delta表示。因此，我们得到以下公式：

这种技术被称为德尔塔套期保值。

德尔塔套期保值是一种常用的期权交易策略，其目的是在减少风险的同时保持对市场的敞口。这种策略利用了期权价格中的德尔塔值，即期权价格变化对标的资产价格变化的敏感度。德尔塔值可以为期权持有人提供有关将期权与标的资产进行哪些交易以减少或完全消除风险的信息。

德尔塔套期保值的基本思路是，在购买或卖出期权的同时，建立相反的标的资产头寸。这样，当标的资产价格发生变化时，期权和标的资产的价值变化会相互抵消，从而减少风险。

例如，假设一个投资者持有100股某股票，并拥有一个德尔塔为0.5的购买期权。当股票价格上涨1美元时，期权价格将上涨0.5美元。因此，投资者可以通过卖出50股股票来达到对冲目的，从而减少对股票价格变化的敞口。

德尔塔套期保值还可以用于组合不同类型的期权，例如同时持有购买期权和销售期权，以利用不同的德尔塔值来减少整个组合的风险。这种策略通常被称为“组合套期保值”。

需要注意的是，德尔塔套期保值是一种对冲策略，目的是减少市场风险。因此，它并不适用于那些希望在市场上赚钱的投机者。此外，由于德尔塔值是随着时间和股票价格的变化而变化的，因此投资者需要根据市场变化及时调整其对冲头寸。

在这里，德尔塔套期保值为我们提供了一个没有随机性的投资组合。这就是我们如何应用它应该以无风险利率增长的论点，否则，就像我们之前的论点一样，我们将有套利机会。因此，我们的德尔塔对冲投资组合的增长率必须等于连续复合无风险利率r，即：

如果我们重新排列这个方程，并使用简写法来消除对（S，t）的依赖性，我们就得出了著名的Black-Scholes方程，即我们或有索赔的价值：

尽管我们已经推导出了方程，但我们还没有足够的条件来提供唯一的解。该方程是一个二阶线性偏微分方程（PDE），如果没有边界条件（例如我们或有索赔的回报函数），我们将无法求解。

我们可以使用的一个支付函数是在K时达成的欧洲看涨期权。这有一个到期时的支付函数T：

现在就可以解决布莱克-舒尔斯方程了。