- 介绍
假设你今天去赌场，心满意足地拿出一笔可观的资金准备与运气较劲。那么在每一次赌注中，你又该怎么选择投入多少资金呢？
其实在每个赌局中，都有有一个可以预测的输赢概率和赢或输的回报率。而凯利公式，就是要帮你找到一个最佳的投资策略，既能让你长期获得最大收益，又能降低潜在风险。这个听起来神奇的公式的核心思想就是把你的可用资金分配到下一次赌注中的比例。它会考虑到赔率和胜率之间的关系，从而给出一个合理的投资比例。如果你的赔率较高，胜利的概率较大，那么凯利公式会建议你投资更多的资金；而如果赔率低或者胜率不高，它会告诉你减少投资或者避免投资。
简单来说，凯利公式就像是你的投资导航系统，以预测的输赢概率为经度，输赢的回报率为纬度帮助你规避风险和谋求利益。但是具体怎么使用这个神奇的公式呢？风险又是什么呢？
- 公式核心
凯利公式的一般形式是f = (bp - q )/ b,其中f是应该分配的资金比例;b是赌注或投资的赔率;p是获胜的概率;q是失败的概率(即1 - p)。
凯利公式的核心思想是找到一个最佳的资金分配比例，使得在长期投资或赌博中，资金增长得最快。为了做到这一点，公式考虑了赔率和胜率之间的关系。
具体来说，当 f 的值为正时，表示应该投资一部分资金，因为预期回报率高于预期损失率。 而当 f 的值为负时，表示应该避免投资，因为预期损失率大于预期回报率。
回到之前的例子，如果下注的赔率或者胜率过低，那么根据凯利公式，进行下注就是不明智的。这个公式的高明之处在于，除可将长期增长率最大化外，此方程式不允许在任何赌局中，有失去全部现有资金的可能，因此有不存在破产疑虑的优点。方程式假设货币与赌局可无穷分割，而只要资金足够多，在实际应用上不成问题。当然，这样的假设带来的副作用就是不能最大化利益，因为除非稳赢，否则凯利公式只会支持押下一定比例的本金。
下图直观显示了三个未知数之间的关系，x,y,z分别为b,p,f。不过这里笔者为了展示使用了零到五的p区间，在实际情况下，p和(1-p)都只能在0到1之间。
- 公式使用
众所周知，所有和金钱有关的公式，最终都能被应用到金融领域。凯利公式也不例外。其中 DR. Thorp在使用凯利公式玩转赌场之后将其运用于金融领域，创建了PNP对冲基金，并在三十年内取得了年化百分之二十以上的收益率。
在量化金融领域应用凯利公式，核心在于将投入本金的占比转化为仓位的最佳杠杆比例。然而，机械套用公式很可能误导量化投资的计算。
对于许多策略（尤其是技术分析策略），一般都涉及胜率和盈亏比的概念。胜率表示每次交易盈利的概率，而盈亏比则表示每单位亏损对应的预期收益。因此，我们可以尝试使用凯利公式来计算每次交易的头寸大小。当然，为满足投资者的风险承受能力，我们还可以在头寸控制上引入一个风险系数，以进一步降低头寸规模。
在这种方法中，赔率的计算方式是将所有盈利交易的平均收益除以所有亏损交易的平均亏损。然而，由于每个交易的持续时间不固定，这种方法完全忽略了交易时间对收益率的影响。举个例子来说明，假设有两次盈利交易，一次持续2天，收益率为1%；而另一次只持续3小时，同样的收益率为1%。尽管它们的平均收益率都为1%，但很明显这两次交易的风险特性完全不同，开仓持续时间也完全不同。因此，不考虑交易时间的赔率计算方式存在问题，使用这样的计算方式得到的结果并不合理。
而利用凯利公式的思想，我们可以通过最大化单期对数收益率来制定投资策略，也就是正确使用凯利公式的算法。由于收益率通常是相对于一定频率（如日收益率、周收益率等）而言的，这种方法更加合理和可操作。
首先，让我们定义单期对数收益率为 ln(1 + R)，其中 R 是相对于一定频率的收益率。我们的目标是在每个周期内最大化单期对数收益率。
基于凯利公式的思想，我们需要估计每个周期内收益率的期望值和标准差。然后，通过调整投资仓位大小来平衡风险和收益，以使单期对数收益率最大化。换言之，我们要通过调整概率和收益率的大小，从而计算出最佳杠杆率。也就是说，我们本身计算的不再是概率和收益率本身，而是根据他们求出的应用杠杆的大小。
在实际应用中，确实存在一些困难，如难以准确估计概率和收益率，并且不同期之间的收益率很难保证绝对独立。因此，业界普遍认为凯利公式的理论杠杆率具有较高的风险。
为了降低风险，通常采用的做法是将计算得到的杠杆率（L）视为杠杆率的上限，并选择使用L/2的杠杆率，这被称为“half-Kelly”。
在这种做法下，投资者将仓位大小限制在原始凯利公式计算结果的一半，以平衡风险和收益。这种做法的基本思想是在追求收益的同时，更加谨慎地管理风险。
然而，即使使用了half-Kelly的杠杆率，投资者仍然需要根据自身的风险承受能力来进一步决定是否进一步降低杠杆率。每个投资者的风险偏好和投资目标可能有所不同，因此在确定杠杆率时应综合考虑个人因素。
总而言之，虽然凯利公式提供了一种理论上最大化长期收益的方法，但在实际应用中，业界普遍倾向于使用half-Kelly的杠杆率来降低风险。投资者应根据自身的情况和风险偏好，权衡风险和收益，并适度调整杠杆率来管理投资风险。
- 特殊情况
尽管凯利公式在许多情况下是一种有用的工具，但也存在一些例外情况，其中凯利公式可能不适用或不够准确。
第一种就是处于非独立交易之中。凯利公式的基本假设是每次交易是相互独立的，即交易之间没有相关性。然而，在实际市场中，交易往往受到各种因素的影响，如市场情绪、宏观经济因素等。这可能导致交易之间存在相关性或序列相关性，使凯利公式低估了风险。当存在相关性时，一个失败的交易可能会导致一系列连续失败的交易，从而造成更大的亏损。凯利公式无法考虑这种连锁效应，因此可能不足以准确估计最优仓位。在这种情况下，投资者需要额外的风险管理方法来控制潜在的相关性风险。
另一种就是长期收益率不稳定。凯利公式的计算基于长期收益率的估计。然而，金融市场的条件会随着时间发生变化，导致长期收益率的不稳定性。例如，市场的波动性、趋势性和周期性可能会发生变化，导致收益率的波动和不确定性增加。这种不稳定性是根据过去历史阶段推算未来趋势的凯利公式所无法预测的，因为整个时常会在短期内处于半强有效市场。
- 结语
凯利公式作为一种投资管理工具，旨在帮助投资者确定最优仓位，以最大化长期收益。它基于胜率和盈亏比的概念，并通过计算概率和收益率的数学公式来得出仓位大小。凯利公式的理论基础和推导是合理和严谨的，并在某些情况下提供了有用的指导。
然而，我们也要认识到凯利公式的局限性和缺陷。非独立交易和长期收益率的不稳定性可能使凯利公式的结果偏离实际情况。市场的复杂性和变化性使得凯利公式的假设有时不符合现实。此外，凯利公式忽略了投资者的风险偏好和风险承受能力，可能无法提供个性化的风险管理解决方案。
因此，在使用凯利公式时，投资者应综合考虑其他因素，并将其作为参考而非绝对指导。结合其他风险管理工具、个人判断和市场情况的综合分析，能够更全面和准确地评估投资风险，并制定合适的投资策略。
最重要的是，投资决策需要根据个人的投资目标、风险承受能力和偏好来定制。凯利公式可以作为一个有用的工具，但并非适用于所有情况。投资者应谨慎运用凯利公式，并灵活地结合其他方法和因素，以实现更有效的投资管理和风险控制。